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利用几何画板验证托勒密定理

发布时间:2016-07-14

托勒密定理也是几何学中的重要定理之一,是指圆内接四边形两组对边乘积的和等于其两条对角线的乘积。托勒密定理在解决初中平面几何及代数的某些问题时有它独到之处,为了让学生们更好地认识并理解该定理,可以用几何画板作图,通过多次实验来验证该定理的正确性,从而让学生们掌握该定理。

几何画板制作的验证托勒密定理课件样图:

验证托勒密定理
几何画板课件模板——验证托勒密定理课件示例

在该课件中,为了验证该定理,可以使用“移动工具”选中四边形的四个顶点,改变圆内接四边形的形状,与此同时,你会发现,不管四边形的形状怎么改变,在右边计算的四边形的对边乘积的和始终等于对角线乘积,从而可以验证该定理是恒成立的。

通过演示该课件,可以获知:

1.任意凸四边形ABCD,必有AC•BD≤AB•CD+AD•BC,当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆。

托勒密不等式:凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,得不等式AC•BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB•CD+BC•AD。

从托勒密定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质。

点击下面的“下载模板”按钮,即可下载该课件,用来在课堂上给学生们验证托勒密定理,从而加深学生们的理解,更好地运用该定理解几何题目。几何学中的大部分定理都是可以用几何画板进行验证的,比如海伦公式,大家如果不清楚怎么去用几何画板验证,可参考:利用几何画板验证海伦公式

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